Materi Dasar Olimpiade
Matematika
SMA, Teori Bilangan
TEORI
BILANGAN
UJI
HABIS DIBAGI
a.
Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut
habis dibagi 2^n Contoh :
134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)
4971328
habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16
b.
Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut
adalah 0 atau 5
Contoh
: 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.
c.
Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi
3.
Contoh
: 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.
d.
Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis
dibagi 9.Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18
habis dibagi 9.
e.
Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari
bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut
pada posisi genap habis dibagi 11.
Contoh
: 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) – (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis
dibagi 11.Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.
2.
Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan
tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima.
Berlaku sebaliknya.Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi
12.
3.
Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.Dalam bentuk persamaan N = pq + r
dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa.Persamaan
di atas sering pula ditulis N=r (mod p)
4.
Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4
maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah
bilangan kuadrat.
5.
Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.
6.
Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.
7. Dua
bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB)
sama dengan 1. Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47
ditulis FPB(26,47) = 1
1. Suatu pertunjukan dihadiri oleh sejumlah penonton. Setiap penonton dewasa membayar tiket seharga 40
ribu rupiah, sedangkan setiap penonton anak membayar tiker 15 ribu rupiah. Jika
jumlah uang penjumlahan tiket adalah 5 juta rupiah, dan banyaknya penonton
dewasa adalah 40% dari seluruh penonton, maka banyaknya penonton anak-anak
adalah ….
2. Diketahui FPB(a,2008) = 251, jika a > 2008 , maka nilai terkecil yang
munkin bagi a adalah ….
3. Setiap dung adalah ding. Ada lima ding yang juga dong. Tidak ada dung yang
dong. Jika banyaknya ding adalah 15 dan tiga di antaranya tidak dung dan tidak
dong, maka banyaknya dung adalah ….
4. Dua dari panjang garis tinggi segitiga ABC lancip, berturut-turut sama
dengan 4 dan 12 .Jika panjang garis tinggi yang ketiga dari segitiga tersebut
merupakan bilangan bulat, maka panjang maksimum garis tinggi segitiga tersebut
adalah….
5. Dalam bidang XOY, banyaknya garis yang memotong sumbu X di titik dengan
absis bilangan prima dan memotong sumbu Y di titik dengan ordinat bilangan
bulat positif serta melalui titik (4, 3) adalah….
6. Seratus siswa suatu Provinsi di Pulau Jawa mengikuti seleksi tingkat
Provinsi dan skor rata-ratanya adalah 100. Banyaknya siswa kelas II yang
mengikuti seleksi tersebut 50% lebih banyak dari siswa kelas III, dan skor
rata-rata siswa kelas III 50% lebih tinggi dari skor rata-rata siswa kelas II.
Skor rata-rata siswa kelas III adalah….
7. Diberikan segitiga ABC, dengan BC = 5, AC = 12, dan AB = 13. Titik D dan
E berturut-turut pada AB dan AC sedemikian rupa sehingga DE membagi segitiga
ABC menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum DE adalah…
